Question

（2012•浦东新区二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，左右焦点分别为F₁，F₂，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形，直线l经过点F₂，倾斜角为45°，与椭圆交于A，B两点．
（1）若|F₁F₂|=2

2

，求椭圆方程；
（2）对（1）中椭圆，求△ABF₁的面积；
（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数λ，μ，使得

OM

=λ 

OA

+μ 

OB

，试确定λ，μ的关系式．

Answer 1

分析：（1）利用长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形，|F₁F₂|=2

2

，即可求椭圆方程；
（2）△ABF₁的面积，可以以焦距长为底，A、B纵坐标差的绝对值为高进行求解；
（3）确定椭圆的右焦点F的坐标，设出直线AB所在直线方程为y=x-

2

b，与椭圆方程联立，利用韦达定理及

OM

=λ

OA

+μ

OB

，同时利用点A，B在椭圆上，即可求得λ，μ的关系式．

解答：解：（1）由已知，可得c=

2

，a=

3

b，
∵a²=b²+c²，∴a=

3

，b=1，
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：y=x-

2

，
代入椭圆方程

x2

3

+y2=1，消去y可得4x2-6

2

 x+3=0，
∴x1+x2=

3 2

2

，x1x2=

3

4

，|x1-x2|=

6

2

，|y1-y2|=|x1-x2|=

6

2

，
∴S△=

1

2

×2

2

×

6

2

=

3

．
（3）由已知椭圆方程为x²+3y²=3b²①，右焦点F的坐标为(

2

b ， 0)，直线AB所在直线方程为y=x-

2

b②，
由①②得：4x2-6

2

bx+3b2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

3 2

2

b，x1x2=

3b2

4

，
设M（x，y），由

OM

=λ

OA

+μ

OB

得，x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
∵点M在椭圆上，∴(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2，
整理得：λ2(

x

2 1

+3

y

2 1

)+μ2(

x

2 2

+3

y

2 2

)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2，③
x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-

2

b)(x2-

2

b)=4x1x2-3

2

b(x1+x2)+6b2=0④，
又点A，B在椭圆上，故

x

2 1

+3

y

2 1

=3b2⑤，

x

2 2

+3

y

2 2

=3b2⑥，
将④⑤⑥代入③得λ²+μ²=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程，利用韦达定理是常用方法．