Question

16．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n}+1}$（n=1，2，3…）
（1）设b_n=|a_n-$\sqrt{3}$|，证明：b_n+1＜b_n；
（2）证明：b₁+b₂+…+b_n＜$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 （1）通过题意易知a_n＞0．利用数学归纳法证明即可，其中当n=k（k≥2）时通分再放缩可知b_k+2=|$\frac{（\sqrt{3}-1）（{a}_{k+1}-\sqrt{3}）}{{a}_{k+1}+1}$|＜（$\sqrt{3}-1$）|a_k+1-$\sqrt{3}$|，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n+1＜（$\sqrt{3}-1$）b_n＜$（\sqrt{3}-1）^{2}$b_n-1＜…＜$（\sqrt{3}-1）^{n}$b₁，利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 证明：（1）依题意，易知a_n＞0．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，a₁=1，a₂=$\frac{{a}_{1}+3}{{a}_{1}+1}$=$\frac{1+3}{1+1}$=2，
∴b₁=|1-$\sqrt{3}$|=$\sqrt{3}-1$＞b₂=|2-$\sqrt{3}$|=$2-\sqrt{3}$；
②假设当n=k（k≥2）时有b_k+1＜b_k，即b_k+1=|a_k+1-$\sqrt{3}$|＜b_k=|a_k-$\sqrt{3}$|，
则b_k+2=|a_k+2-$\sqrt{3}$|=|$\frac{{a}_{k+1}+3}{{a}_{k+1}+1}$-$\sqrt{3}$|
=|$\frac{（\sqrt{3}-1）（{a}_{k+1}-\sqrt{3}）}{{a}_{k+1}+1}$|
＜（$\sqrt{3}-1$）|a_k+1-$\sqrt{3}$|
=（$\sqrt{3}-1$）b_k+1
＜b_k+1，
即当n=k+1时，命题也成立；
由①、②可知：b_n+1＜b_n；
（2）由（1）可知b_n+1＜（$\sqrt{3}-1$）b_n＜$（\sqrt{3}-1）^{2}$b_n-1＜…＜$（\sqrt{3}-1）^{n}$b₁，
∴b₁+b₂+…+b_n＜$\sqrt{3}-1$+$（\sqrt{3}-1）^{2}$+…+$（\sqrt{3}-1）^{n}$
=$\frac{（\sqrt{3}-1）[1-（\sqrt{3}-1）^{n}]}{1-（\sqrt{3}-1）}$
=$（\sqrt{3}+1）$$[1-（\sqrt{3}-1）^{n}]$
＜$\sqrt{3}$+1．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．