题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，
，点
是棱
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的大小.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）取
的中点
，连接
、
，证明四边形
为平行四边形，即可证明
平面
.
（2）以
为坐标原点，
，
，所在的直线分别为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面
的一个法向量
，取平面
的一个法向量为
，结合空间向量数量积运算即可得解.
证明：（1）如图，取的中点，连接、.
∵
是
的中点，∴
，
，
又
，
，所以
，
，
∴四边形为平行四边形，
∴
，
又
平面，
平面，
∴平面.
（2）在平面
内过点作的垂线，由题意知
，，两两垂直，以
为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空
间直角坐标系，由题意知
，
，
，
可得
，
，
，∴
，
，
设平面的法向量为
，
则由
，即
，令
，则
，
，
∴为平面的一个法向量.
∵
底面，∴可取平面的一个法向量为，
∴
，
∵二面角
为锐二面角，
∴二面角的大小为.
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