Question

已知函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+2sin2x
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）先运用三角函数的两角和与差的正弦公式及二倍角公式将函数化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，根据T=

2π

w

可求出最小正周期；
（2）因为f（x）取最大值时应该有sin（2x-

π

6

）=1成立，即2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，可得答案．
（3）将2x-

π

6

看做一个整体，根据正弦函数的性质可得2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，进而求出x的范围，得到答案．

解答：解：（1）∵f(x)=sin(2x+

π

6

)+2sin2x
∴f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+(-cos2x+1)
=(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)+1
=sin(2x-

π

6

)+1．
∵T=

2π

2

=π，即函数f（x）的最小正周期为π．
（2）当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

（5分）
即x=kπ+

2π

3

(k∈Z)时，f（x）取最大值1（7分）
因此f（x）取最大值时x的集合是{x|x=kπ+

2π

3

，k∈Z}（8分）
（3）f（x）=sin(2x-

π

6

)+1．
再由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)．
所以y=f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)．（12分）

点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法、正弦函数的定义域和值域和单调区间的求法，一般都是将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再根据三角函数的图象和性质解题．