Question

【题目】已知二次函数.

（1）若函数在区间上存在零点，求实数p的取值范围；

（2）问是否存在常数，使得当时，的值域为区间D，且D的长度为.

（注：区间 的长度为）.

Answer 1

【答案】（1）–20≤p≤12；（2）存在常数q= 8或q= 9，当x∈[q，10]时，的值域为区间，且的长度为12–q．

【解析】

（1）利用零点存在性定理列出关于q的不等式，然后再利用不等式知识求解即可；（2）先利用单调性求出函数的值域，再利用区间长度列出关于q的方程，求解即可。

解：（1）∵二次函数f(x)=x2– 16x+p+ 3的对称轴是，∴函数在区间上单调递减，则函数在区间上存在零点须满足． ……………2分

即(1 + 16 +p+ 3)(1 – 16 +p+ 3)≤0， 解得–20≤p≤12． …………………4分

⑵ 当时，即0≤q≤6时，

的值域为：[f(8)，f(q)]，即[p–61,q2–16q+p+ 3].

∴区间长度为q2– 16q+p+ 3 – (p– 61) =q2– 16q+ 64 =" 12" –q．

∴q2– 15q+ 52 =" 0" ∴，经检验不合题意，舍去．……6分

当时，即6≤q<8时，的值域为：，即[p– 61，p– 57]

∴区间长度为p– 57 – (p– 61) =" 4" =" 12" –q∴q= 8．经检验q= 8不合题意，舍去. …8分

当q≥8时，的值域为：[f(q)，f(10)]，即 [q2– 16q+p+3，p– 57].

∴区间长度为p– 57 –(q2– 16q+p+ 3) = –q2– 16q– 60 =" 12" –q,

∴q2– 17q+ 72 =" 0" , ∴q= 8或q= 9．经检验q= 8或q= 9满足题意．

所以存在常数q= 8或q= 9，当x∈[q，10]时，的值域为区间，且的长度为12–q． ………………………10分