题目内容
张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
，
．（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
关于概率统计问题，几次考查都没有将概率与统计图表结合起来，请老师们注意，在复练时要有意识的进行练习．
【答案】分析：（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，再根据题意求出其发生的概率为
，即可得到答案．
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．结合题意分别求出其发生的概率，即可得到随机变量X的分布列，进而求出X的期望．
（Ⅲ）根据题意可得：选择L1路线遇到红灯次数为Y，并且随机变量Y服从二项分布
，即可根据有关公式求出Y的数学期望，进而能够做出正确的选择．
解答：解：（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，
则
． …（4分）
所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为
．
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2． …（5分）
所以
，
，
． …（8分）
所以随机变量X的分布列为：
所以
． …（10分）
（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，
，
所以
． …（12分）
因为EX＜EY，所以选择L2路线上班最好． …（14分）
点评：本题考查互斥事件的概率与相互独立事件的概率，以及考查离散型随机变量的分布列与数学期望，是一个和实际生活结合比较紧密的问题，此题属于中档题型，是高考命题的趋向．
，即可得到答案．（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．结合题意分别求出其发生的概率，即可得到随机变量X的分布列，进而求出X的期望．
（Ⅲ）根据题意可得：选择L1路线遇到红灯次数为Y，并且随机变量Y服从二项分布
，即可根据有关公式求出Y的数学期望，进而能够做出正确的选择．解答：解：（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，
则
． …（4分）所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为
．（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2． …（5分）
所以
，
，
． …（8分）所以随机变量X的分布列为：
| X | 1 | 2 | |
| P |  |  |  |
． …（10分）（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，
，所以
． …（12分）因为EX＜EY，所以选择L2路线上班最好． …（14分）
点评：本题考查互斥事件的概率与相互独立事件的概率，以及考查离散型随机变量的分布列与数学期望，是一个和实际生活结合比较紧密的问题，此题属于中档题型，是高考命题的趋向．
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；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
，
．
的数学期望；
；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
，
．
的数学期望；
；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
，
．
的数学期望；