Question

已知椭圆的焦点坐标为(-1,0)，(1,0)，过垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，

(1)求椭圆的方程；

(2)过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）=1；（2）π

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法即可求得椭圆方程为=1；（2） 设M，N,不妨>0, <0,设△MN的内切圆的径R，则△MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大，从而将问题转化为求最大值，设直线l的方程为x=my+1，由得+6my-9=0，，，则AB（）==，再换元法及双钩函数的性质得到=从而所求内切圆面积的最大值为π.

试题解析：（1） 设椭圆方程为=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1 1由PQ|=3，可得=3， 2分

解得a=2，b=， 3分

故椭圆方程为=1 4分

（2） 设M，N,不妨>0, <0,设△MN的内切圆的径R，

则△MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R

因此最大，R就最大， 6分

，

由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

由得+6my-9=0， 8分

得，，

则AB（）==， 9分

令t=,则t≥1,

则, 10分

令f（t）=3t+，则f′(t) =3-，

当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，

有f(t)≥f(1)=4, ≤=3,

即当t=1,m=0时，≤=3, =4R，∴=，

这时所求内切圆面积的最大值为π.

故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为π 13分

考点：圆锥曲线与最值的综合应用