Question

（本题满分14分）如图，四棱锥的底面为矩形，且，
，，

（Ⅰ）平面与平面是否垂直？并说明理由；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

（I）见解析；（Ⅱ）.

本试题主要是考查了面面垂直和线面角的求解的综合运用。
（1）第一问中要证明面面垂直关键是证明线面垂直，然后利用判定定理得到。
（2）第二问先根据线面角的定义，作出线面角，然后利用直角三角形的边角的关系求解的得到。

（I）平面平面；   …………………1分
证明：由题意得且 
又，则    …………………………3分
则平面,                  ………………5分
故平面平面             ………………7分
（Ⅱ）解法1：以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立
空间直角坐标系如右图示，则,, 可得,  9分
平面ABCD的单位法向量为，          ……………………………………11分
设直线PC与平面ABCD所成角为，则  13分
则，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值 ……………………………14分
解法2：

由（I）知平面，∵面
∴平面ABCD⊥平面PAB,                                …………………………9分
在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则PE⊥平面ABCD，连结EC，
则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角，              …………………………11分
在Rt△PEA中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴,
又
∴ …………………………13分
在Rt△PEC中.………………14分