Question

下列命题中，真命题是（　　）

A．?x∈R，使得sinx+cosx=1.5

B．?x∈(0， π 2 )，使得sinx＞cosx

C．?x∈R，使得x2+x=-1

D．?x∈（0，+∞），使得ex＞1+x

Answer 1

∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，而1.5＞

2

，故A错误；
当x∈（0，

π

4

]时，sinx≤cosx，故B错误；
当x²+x=-1时，x²+x+1=0，但其△=1-4=-3＜0．故C不正确；
对于D：设f（x）=e^x-x-1，则f′（x）=e^x-1，
∴当x=0时，f′（x）=0，f（x）=0．
当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（0）=0．
∴对x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，
∴e^x＞x+1．故D正确；
故选D．