Question

已知f（x）=log_mx（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_nf（a_n），记数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=

2

时，求S_n；
（3）若c_n=a_nlga_n，问是否存在实数m，使得{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的通项公式可求得f（x）的解析式，进而求得a_n，进而根据

an+1

an

=m2推断出数列{a_n}是以m⁴为首项，m²为公比的等比数列
（2）把（1）中的a_n代入b_n=a_nf（a_n）求得b_n，把m代入，进而利用错位相减法求得S_n．
（3）把a_n代入c_n，要使c_n-1＜c_n对一切n≥2成立，需nlgm＜（n+1）•m²•lgm对一切n≥2成立，进而根据m的不同范围求得答案．

解答：解：（1）由题意f（a_n）=4+2（n-1）=2n+2，即log_ma_n=2n+2，
∴a_n=m²ⁿ⁺²
∴

an+1

an

=

m2(n+1)+2

m2n+2

=m2
∵m＞0且m≠1，
∴m²为非零常数，
∴数列{a_n}是以m⁴为首项，m²为公比的等比数列
（2）由题意b_n=a_nf（a_n）=m²ⁿ⁺²log_mm²ⁿ⁺²=（2n+2）•m²ⁿ⁺²，
当m=

2

时，bn=(2n+2)•2n+1=(n+1)•2n+2
∴S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²①
①式乘以2，得2S_n=2•2⁴+3•2⁵+4•2⁶+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³②
②-①并整理，得S_n=-2•2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³=-2³-[2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²]+（n+1）•2ⁿ⁺³
=-23-

23[1-2n]

1-2

+(n+1)•2n+3=-2³+2³（1-2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺³=2ⁿ⁺³•n
（3）由题意c_n=a_nlga_n=（2n+2）•m²ⁿ⁺²lgm，要使c_n-1＜c_n对一切n≥2成立，
即nlgm＜（n+1）•m²•lgm对一切n≥2成立，
①当m＞1时，n＜（n+1）m²对n≥2成立；
②当0＜m＜1时，n＞（n+1）m²
∴n＞

m2

1-m2

对一切n≥2成立，只需

m2

1-m2

＜2，
解得-

6

3

＜m＜

6

3

，考虑到0＜m＜1，
∴0＜m＜

6

3

．
综上，当0＜m＜

6

3

或m＞1时，数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项

点评：本题主要考查了等比关系的确定．涉及了数列的求和，不等式知识等问题，考查了学生分析问题的能力．