Question

已知向量

a

=(2cos

x

2

，tan(

x

2

+

π

4

))，

b

=(

2

sin(

x

2

+

π

4

)，tan(

x

2

-

π

4

))，令f(x)=

a

•

b

．求函数f（x）的最大值，最小正周期，并写出
f（x）在[0，π]上的单调区间．

Answer 1

分析：利用向量的数量积公式求出f（x），利用两角和、差的正弦、正切公式、二倍角公式化简三角函数为y=Asin（?x+φ）+k形式；
利用三角函数的有界性、最小正周期公式、利用整体代换求出单调性．

解答：解：f(x)=

a

•

b

=2

2

cos

x

2

sin(

x

2

+

π

4

)+tan(

x

2

+

π

4

)tan(

x

2

-

π

4

)=2

2

cos

x

2

(

2

2

sin

x

2

+

2

2

cos

x

2

)+

1+tan x 2

1-tan x 2

•

tan x 2 -1

1+tan x 2

=2sin

x

2

cos

x

2

+2cos2

x

2

-1=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

).
当x=

π

4

时，f(x)|max=f(

π

4

)=

2

．
最小正周期为T=2π，f（x）在[0，

π

4

]是单调增加，在[

π

4

，π]是单调减少．

点评：本题考查向量与三角结合、考查向量的数量积公式、三角函数的和、差角公式、二倍角公式；三角函数的周期公式、三角函数的有界性．