Question

【题目】函数g（x）=log2 （x＞0），关于方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m的取值范围为（ ）
A.（﹣∞，4﹣2 ）∪（4 ，+∞）
B.（4﹣2 ，4 ）
C.（﹣ ，﹣ ）
D.（﹣ ，﹣ ]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵ = =2﹣ ，
∴当x＞0时，0＜2﹣ ＜2，
即g（x）＜1，
则y=|g（x）|大致图象如图所示，
设|g（x）|=t，则|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0有三个不同的实数解，
即为t2+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上，
当t=0时，2m+3=0，得m=﹣ ，此时方程为t2﹣ t=0，
解得t=0或t= ，
当t=0时，g（x）=0有一个根x=1，
当t= 时，由|g（x）|= ，此时也只有一个根，此时方程共有2个根，不满足条件．
设h（t）=t2+mt+2m+3，
①当有一个根为1时，h（1）=12+m+2m+3=0，解得m=﹣ ，此时另一根为 ，满足条件．
②根不是1时，则满足 ，
∴ ，
即 ，
∴﹣ ．
综上﹣ ＜m≤﹣ ，
即实数m的取值范围为（﹣ ，﹣ ]，
故选：D．