Question

【题目】设函数，其中.

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）当时，证明：函数不可能存在两个零点.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，条件下，判断出函数的单调性，求出函数的极值.

（Ⅱ）令，求得两个根，对分类讨论，分别研究函数的单调性与极值的取值，通过判断即可证明结论.

详解：（Ⅰ）解：求导，得，

因为，所以，

所以当时，，函数为减函数；

当时，，函数为增函数；

故当时，存在极小值，不存在极大值.

（Ⅱ）证明：解方程得

当即时，

随着的变化，与的变化情况如下表：

		1
	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以函数在，上单调递增，在上单调递减.

又因为，

所以函数至多在区间存在一个零点；

当，即时，

因为（当且仅当时等号成立），

所以在单调递减，

所以函数至多存在一个零点；

当，即时，

随着的变化，与的变化情况如下表：

				1
	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以函数在，上单调递增，在上单调递减.

又因为，

所以当时，，

综上，当时，函数不可能存在两个零点.