Question

【题目】过曲线的左焦点且和双曲线实轴垂直的直线与双曲线交于点A,B,若在双曲线的虚轴所在的直线上存在—点C,使得,则双曲线离心率e的最小值为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

设双曲线的方程为：，（a＞0，b＞0），依题意知当点C在坐标原点时，∠ACB最大，∠AOF1≥45°，利用tan∠AOF1，即可求得双曲线离心率e的取值范围．求出最小值．

设双曲线的方程为：，（a＞0，b＞0），

∵双曲线关于x轴对称，且直线AB⊥x轴，设左焦点F1（﹣c，0），则A（﹣c，），B（﹣c，），

∵△ABC为直角三角形，

依题意知，当点C在坐标原点时，∠ACB最大，

∴∠AOF1≥45°，

∴tan∠AOF11，

整理得：（）21≥0，即e2﹣e﹣1≥0，

解得：e．

即双曲线离心率e的最小值为：．

故选：C