Question

设G为△ABC的重心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若35a

GA

+21b

GB

+15c

GC

=0，则sin∠ACB=

3

2

．

Answer 1

分析：由G为三角形ABC重心，得到

GA

+

GB

+

GC

=0，表示出

GC

，代入已知等式中，整理后利用平面向量基本定理用c表示出a与b，设出c，得到a与b，根据余弦定理表示出cos∠ACB，将三边长代入求出cos∠ACB的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sin∠ACB的值．

解答：解：∵G为△ABC的重心，
∴

GA

+

GB

+

GC

=0，即

GC

=-

GA

-

GB

，
代入已知等式整理得：（35a-15c）

GA

+（21b-15c）

GB

=0，
∵

GA

，

GB

不共线，
∴由平面向量基本定理得：35a-15c=0，21b-15c=0，
即a=

3

7

c，b=

5

7

c，令c=7t，则a=3t，b=5t，
根据余弦定理得：cos∠ACB=

a2+b2-c2

2ab

=

9t2+25t2-49t2

30t2

=-

1

2

，
∵∠ACB为三角形内角，
∴sin∠ACB=

1-cos2∠ACB

=

3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量基本定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．