题目内容
设G为△ABC的重心，
|BC|
+2|CA|
+2
|AB|
=
，则
的值=
| 3 |
| GA |
| GB |
| 3 |
| GC |
| 0 |
| ||||
|
-
| 1 |
| 3 |
-
．| 1 |
| 3 |
分析：欲求
的值，由于
=
，故须求出三角形的内角及边的比值，设出三角形的三边分别为a，b，c，根据由G为三角形的重心，根据中线的性质及向量的加法法则分别表示出
，
和
，代入化简后的式子中，然后又根据
等于
加
，把上式进行化简，最后得到关于
和
的关系式，由
和
为非零向量，得到两向量前的系数等于0，列出关于a，b及c的方程组，不妨令b=
，，即可求出a与b的值，然后根据余弦定理表示出cosB，把a，b，c的值代入即可求出cosB的值，同理求得cosC即得．
| ||||
|
| ||||
|
| -c•cosB |
| bcosC |
| GA |
| GC |
| GB |
| CA |
| CB |
| BA |
| BA |
| BC |
| BA |
| BC |
| 3 |
解答：解：因为
|BC|
+2|CA|
+2
|AB|
=
设三角形的边长顺次为a，b，c，根据正弦定理得：
a
+2b
+2
c
=
，
由点G为三角形的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：
3
=
+
，3
=
+
，3
=
+
，
代入上式得：
a（
+
）+2b（
+
）+2
c（
+
）=
，
又
=
+
，上式可化为：
a（2
+
）+2b（
+
）+2
c（-
+2
）=
，
即（2
a-2b-2
c）
+（-
a-2b+4
c）
=
，
则有
，令b=
，解得：
，
所以cosB=
=
=
，
cosC=
=
=
，
∴
=
=
=
=-
故答案为：-
| 3 |
| GA |
| GB |
| 3 |
| GC |
| 0 |
设三角形的边长顺次为a，b，c，根据正弦定理得：
| 3 |
| GA |
| GB |
| 3 |
| GC |
| 0 |
由点G为三角形的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：
3
| GA |
| BA |
| CA |
| GB |
| CB |
| AB |
| GC |
| AC |
| BC |
代入上式得：
| 3 |
| BA |
| CA |
| AB |
| CB |
| 3 |
| AC |
| BC |
| 0 |
又
| CA |
| CB |
| BA |
| 3 |
| BA |
| CB |
| AB |
| CB |
| 3 |
| BA |
| BC |
| 0 |
即（2
| 3 |
| 3 |
| BA |
| 3 |
| 3 |
| BC |
| 0 |
则有
|
| 3 |
|
所以cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
22+12-
| ||
| 2×2×1 |
| 1 |
| 2 |
cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
22+
| ||
2×2×
|
| ||
| 2 |
∴
| ||||
|
|
| ||||
|
|
| -c•cosB |
| bcosC |
-1•
| ||||||
|
| 1 |
| 3 |
故答案为：-
| 1 |
| 3 |
点评：此题考查学生灵活运用向量在几何中的应用、余弦定理化简求值，掌握向量的加法法则及中线的性质，是一道中档题．
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