Question

（2013•江门一模）春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动．
（1））试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；
（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为m元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为6m元的奖金．假设顾客每次抽奖中获的概率都是

1

3

，请问：商场将奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？

Answer 1

分析：（1）求互斥事件的概率一般有两种方法，直接法和间接法，本小题用用间接法比较简便．事件“至少有一种是家电”的对立事件是“商品中没有家电”，用公式P（A）=1-P（

.

A

），即运用逆向思维计算．
（2）欲求m的值，需要先求奖金总额的期望值，要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额即可．

解答：解：（1）设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有

C

3 8

种不同的选法…（1分），
选出的3种商品中，没有家电的选法有

C

3 6

种…（2分）
所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为P(A)=1-

C 3 6

C 3 8

=

9

14

…（4分）
（2）设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能的取值为0，m，3m，6m．（单元：元）…（5分）
ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P(ξ=0)=(1-

1

3

)3=

8

27

…（6分）
同理，P(ξ=m)=

C

1 3

×(1-

1

3

)2×

1

3

=

4

9

…（7分）P(ξ=3m)=

C

2 3

×(1-

1

3

)1×(

1

3

)2=

2

9

…（8分）P(ξ=6m)=

C

3 3

×(

1

3

)3=

1

27

…（9分）
顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E(ξ)=0×

8

27

+m×

4

9

+3m×

2

9

+6m×

1

27

=

4

3

m…（12分）（列式（2分），计算1分）
由

4

3

m≤100，解得m≤75…（13分）
所以故m最高定为75元，才能使促销方案对商场有利…（14分）．

点评：本题考查古典概型、离散型随机变量的期望，以及运用互斥事件求概率的方法，同时考查期望的求法．属于中档题．