Question

给定函数①y=x

1

2

；②y=log

1

2

（x+1）；③y=2^x-1；④y=x+

1

x

；其中在区间（0，1）上单调递减的函数的序号是（　　）

A．①②

B．②③

C．③④

D．②④

Answer 1

分析：对于命题①②③，直接利用幂函数，对数函数和指数函数的单调性加以判断，命题④可利用函数单调性的方法加以证明．

解答：解：因为幂函数y=x^α（α＞0）在第一象限为增函数，所以y=x

1

2

在区间（0，1）上单调递增；
函数y=log

1

2

（x+1）的定义域为（-1，+∞），且内层函数t=x+1为增函数，外层函数y=log

1

2

t为减函数，所以函数y=log

1

2

（x+1）在区间（0，1）上是单调递减的函数；
函数y=2^x-1=

1

2

•2x是实数集上的增函数；
对于函数y=x+

1

x

，取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)-

x1-x2

x1x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=(x1-x2)

x1x2-1

x1x2

．
当x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂时，x₁＜x₂，x₁x₂-1＜0，
所以(x1-x2)

x1x2-1

x1x2

＞0，所以f（x₁）＞f（x₂）．
所以y=x+

1

x

在区间（0，1）上是单调递减的函数．
所以在区间（0，1）上单调递减的函数是②④．
故选D．

点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了基本初等函数的单调性，训练了函数单调性的证明方法，属中档题．