Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=2

2

，CD=

2

，BC=2．将ABCD（及其内部）绕AB所在的直线旋转一周，形成一个几何体．
（1）求该几何体的体积V；
（2）设直角梯形ABCD绕底边AB所在的直线旋转角θ（∠CBC′=θ∈（0，π））至ABC′D′，若AD′⊥AD，求角θ的值．

Answer 1

分析：（1）由圆锥及圆柱的几何特征可得，该几何体由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为

2

，代入圆柱和圆锥的体积公式，即可得到答案．
（2）若AD′⊥AD，则D′D=

2

AD，由余弦定理，结合BC=2，我们易求出角θ的值．

解答：解：（1）如图，作DE⊥AB，则由已知，得DE=2，AE=AB-EB=

2

，．（2分）
所以，V=

1

3

π×22×

2

+π×22×

2

=

16 2

3

π（4分）
（2）连接DD′，CC′，有AD=AD′=

6

，DD^'2=CC^'2=8-8cosθ，．（3分）
由题意，得DD^'2=AD^'2+AD²，（2分）
即8-8cosθ=12（2分）cosθ=-

1

2

，θ=

2

3

π(或120°)．（2分）

点评：本题考查的知识点是圆柱与圆锥的体积及余弦定理，（1）中熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式是关键，（2）中将空间问题转化为平面问题是解答立体几何常用的技巧．