题目内容

如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AD=1,AB=2,CD=3,E、F分别为线段CD、AB上的点,且EF∥AD.将梯形沿EF折起,使得平面ADEF⊥平面BCEF,折后BD与平面ADEF所成角正切值为
2
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(Ⅰ)求证:BC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求平面BCEF与平面ABD所成二面角(锐角)的大小.
分析:(Ⅰ)设DE=a,则BE=
(2-a)2+1
,易得tan∠DBE
DE
BE
=
a
(2-a)2+1
=
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,可解得a=1,可得F为AB的中点,可得BC⊥BE,BC⊥DE,由线面垂直的判定定理可得;(Ⅱ)取BC中点可证∠DME即平面BCEF与平面ABD所成的二面角,在三角形中可得角的大小.
解答:证明:(Ⅰ)∵DE⊥EF,平面ADEF⊥平面BCEF,∴DE⊥平面BCEF,
∴∠DBE是BD与平面ADEF所成的角,∴tan∠DBE=
2
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设DE=a,则BE=
(2-a)2+1
,由tan∠DBE=
DE
BE
=
a
(2-a)2+1
=
2
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,可解得a=1,
∴F为AB的中点,可得BC⊥BE,又DE⊥平面BCEF,可得BC⊥DE,
又BE∩DE=E,∴BC⊥平面BDE;
(Ⅱ)取BC中点M,连接MB、MD,易知MB∥AD,∴平面ABMD即平面ABD,
∵DE⊥平面BCEF,∴DE⊥MB,∴MB⊥平面CDE,可得DM⊥BM,
又MB⊥EC,∴∠DME即平面BCEF与平面ABD所成的二面角,
由DE=EM=1可得∠DME=45°
故平面BCEF与平面ABD所成二面角为45°
点评:本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的求解,属中档题.
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