题目内容
如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面ABCD,AB=AD=a,SD=2 |
(Ⅰ)求证:平面SAB⊥平面SAD;
(Ⅱ)设SB的中点为M,且DM⊥MC,试求出四棱锥S-ABCD的体积.
分析:(I)由已知中,∠A=∠D=90°SD⊥平面ABCD,我们易得AB⊥AD,SD⊥AB,由线面垂直的判定定理,可得AB⊥平面SAD,再由面面垂直的判定定理,可得平面SAB⊥平面SAD;
(II)连接BD,∵∠A=∠D=90°,AB=AD=a,SD=
a,我们可得△DBA为等腰直角三角形,结合SB的中点为M,且DM⊥MC,我们易得四棱锥S-ABCD的高为SD,分别求出棱锥的底面面积和高,代入棱锥的体积公式,即可得到答案.
(II)连接BD,∵∠A=∠D=90°,AB=AD=a,SD=
2 |
解答:解:(Ⅰ)证明:∵∠A=90°,∴AB⊥AD
又SD⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,
∴SD⊥AB
∴AB⊥平面SAD.
又AB?平面SAB,
∴平面SAB⊥平面SAD.
(Ⅱ)连接BD,∵∠A=∠D=90°,AB=AD=a,
∴BD=
a=SD
∴∠DBA=45°
又M为SB中点,
∴DM⊥SB
由条件DM⊥MC,MC∩SB=M,∴DM⊥面SBC,又BC?面SBC,
则DM⊥BC,由(1)可知SD⊥BC,SD∩DM=D,∴BC⊥面SDB,则BC⊥BD,
由平面几何知识,则△BDC是等腰直角三角形,
则DC=
DB=2a,
故VS-ABCD=
SABCD•SD=
(
)•a.
•a=
a3
又SD⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,
∴SD⊥AB
∴AB⊥平面SAD.
又AB?平面SAB,
∴平面SAB⊥平面SAD.
(Ⅱ)连接BD,∵∠A=∠D=90°,AB=AD=a,
∴BD=
2 |
∴∠DBA=45°
又M为SB中点,
∴DM⊥SB
由条件DM⊥MC,MC∩SB=M,∴DM⊥面SBC,又BC?面SBC,
则DM⊥BC,由(1)可知SD⊥BC,SD∩DM=D,∴BC⊥面SDB,则BC⊥BD,
由平面几何知识,则△BDC是等腰直角三角形,
则DC=
2 |
故VS-ABCD=
1 |
3 |
1 |
3 |
a+2a |
2 |
2 |
| ||
2 |
点评:本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,棱锥的体积,熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键.
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