Question

已知函数f（x）=

3

sinωx-cosωx（ω＞0）的图象上两相邻最高点的坐标分别为（

π

3

，2）和（

4π

3

，2）．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且f（A）=2，求角A的大小及

b

a

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由函数图象上相邻最高点横坐标之差求出函数的周期，即可求出ω的值；
（Ⅱ）将ω的值代入函数解析式，根据f（A）=2，求出sin（2A-

π

6

）=1，根据A为三角形的内角，确定出2A-

π

6

的范围，利用特殊角的三角函数求出A的度数；由sinB=sin（π-A-C）及sinA的值，利用正弦定理化简所求式子为一个角的正弦函数，由C的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出所求式子的范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

sinωx-cosωx=2sin（ωx-

π

6

），
∵函数图象上两相邻最高点的坐标分别为（

π

3

，2）和（

4π

3

，2），
∴函数的周期T=

4π

3

-

π

3

=π，
则ω=2；
（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A-

π

6

）=2，∴sin（2A-

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，
∴2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，
由正弦定理得：

b

a

=

sinB

sinA

=

2 3

3

sin（

2π

3

-C），
∵0＜C＜

2π

3

，∴0＜

2π

3

-C＜

2π

3

，
∴

b

a

∈（0，

2 3

3

]．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．