Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且短轴长为2，F₁，F₂是左右焦点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）圆O是以F₁，F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与圆O相切，且与椭圆交于A，B两点，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）短轴长2b=2，即b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，解得：a=$\sqrt{2}$，b=1，即可求得椭圆的标准方程；
（2）以F₁，F₂为直径的圆，x²+y²=1，由直线l：y=kx+m与圆O相切，则$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=1+k²，将直线l代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算即可求得：$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，即可求得k的值．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，短轴长2b=2，即b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又a²=b²+c²，解得：a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由（1）可知：丨F₁F₂丨=2c=2，则以F₁，F₂为直径的圆，x²+y²=1，
由直线l：y=kx+m与圆O相切，则$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=1+k²，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得，（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
由直线与椭圆有两个不同的交点，
即有△＞0，即（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
解得：k²＞0，
又x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{1-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{1-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，解得：k=±1．
∴k的值±1．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题．