Question

经过抛物线y²=2px （p＞0）的焦点作一条直线l交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

y1y2

x1x2

的值为

-4

．

Answer 1

分析：对直线的斜率进行分类讨论：①当直线斜率不存在时，直线方程为：x=

p

2

，由

x= p 2 y2=2px

得到交点坐标，从而得到x₁•x₂的值和y₁•y₂的值．②当直线斜率存在时，直线方程为：y=k（x-

p

2

），由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

得 y²-

2p

k

y-p²=0．由此能够得到y₁•y₂的值和x₁•x₂的值．最后求出它们的比值即可．

解答：解：①当直线斜率不存在时，直线方程为：x=

p

2

，由

x= p 2 y2=2px

得到交点坐标（

p

2

，±p），
所以x₁•x₂=

p2

4

，y₁•y₂=-p²．
②当直线斜率存在时，直线方程为：y=k（x-

p

2

），由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

得 y²-

2p

k

y-p²=0．
∴y₁•y₂=-p²，x₁•x₂=

y12

2p

•

y 2 2

2p

=

p2

4

．
综上可知，x₁x₂=

p2

4

，y₁y₂=-p²．则

y1y2

x1x2

的值

-p2

p2 4

=-4，
故答案为：-4．

点评：本题考查抛物线的简单性质、直线和抛物线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意抛物线性质的灵活运用．