Question

【题目】四棱锥，底面为平行四边形，侧面底面.已知，，，为线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）连，交于点，连，可得，然后根据线面平行的判定定理可得平面．（2）由题意得两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量后，可得两法向量夹角的余弦值，由此可得所求锐二面角的余弦值．

详解：(1) 连，交于点，连．

∵底面为平行四边形，

∴为的中点.

又在中，为的中点，

∴，

∵面，面，

∴平面．

(2)以的中点为原点，分别以为轴，建立如图所示的坐标系.

则，，，．

∴，，，．

设平面的一个法向量为，

由，得，

令 得，则．

同理设平面的一个法向量为，

由 ，得，

令 得，则．

∴．

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．