Question

13．已知a、b、c为正实数，（a+b+c）²=16（$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{bc}$+$\frac{1}{ac}$），则（a+b）（b+c）的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． 16
• D． 32

Answer 1

分析 已知式子变形可得a+b+c=$\frac{16}{abc}$，代入可得（a+b）（b+c）=ac+b（a+b+c）=ac+$\frac{16}{ac}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵（a+b+c）²=16（$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{bc}$+$\frac{1}{ac}$）=$\frac{16（a+b+c）}{abc}$，
∴a+b+c=$\frac{16}{abc}$，又（a+b）（b+c）=ab+ac+b²+bc
=ac+b（a+b+c）=ac+$\frac{16}{ac}$≥2$\sqrt{ac•\frac{16}{ac}}$=8
当且仅当ac=$\frac{16}{ac}$即ac=4时取等号，
故选：B．

点评 本题考查基本不等式求最值，变形化为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．