Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且sinB+cosB=1-sin

B

2

．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,二倍角的正弦

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由条件利用二倍角公式可得 cos

B

2

-sin

B

2

=-

1

2

＜0 ①，

B

2

∈（

π

4

，

π

2

）．再把①平方求得sinB的值，即可得到cosB的值．
（Ⅱ）由a+c=4，△ABC的面积S=

1

2

ac•sinB=

3

8

ac，里哦也难怪基本不等式求得S的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵sinB+cosB=1-sin

B

2

，
∴2sin

B

2

cos

B

2

-2sin2

B

2

+sin

B

2

=0，
∴cos

B

2

-sin

B

2

=-

1

2

＜0 ①，∴

B

2

∈（

π

4

，

π

2

）．
再把①平方可得 2sin

B

2

cos

B

2

=

3

4

，
∴sinB=

3

4

，∴cosB=-

7

4

．
（Ⅱ）∵a+c=4，
∴△ABC的面积S=

1

2

ac•sinB=

3

8

ac≤

3

8

×(

a+c

2

)2=

3

2

，
当且仅当a=c=2时，取等号，故△ABC的面积S的最大值为

3

2

．

点评：本题主要考查二倍角的三角公式、同角三角函数的基本关系，基本不等式的应用，属于中档题．