Question

【题目】已知函数．

（1）若存在最大值，证明：；

（2）函数，且只有一个极值点，求的取值范围，并证明：

Answer 1

【答案】(1) 证明见解析(2) ,证明见解析

【解析】

（1）先求函数的导数，分的范围讨论函数是否有最大值，并且在有最大值时根据函数的单调性求（a）的最小值等于零即可；

（2）求函数的导数，且只有一个根，且定义域内根的两边区间的符合相反，求出根，并证明的最小值大于等于即可．

解：（1）由题意：，

当时，恒成立，函数单调递增，无最大值；

当，在单调递增，，上单调递减，

所以函数在最大值为，

所以，

下面证明，即证：，令， ，

所以在，单调递减，在单调递增，

所以，所以，证毕．

（2），所以，设，，

①当时，令，解得，，，单调递增，，，单调递减，

若，恒成立，无极值；

若，，而，，此时函数有两个极值点：

故不符合题意

②时，，，单调递减，，，单调递增，

所以函数有唯一的极小值点，；

③当，恒成立，单调递增，取满足，且时，，而，此时又零点存在定理知：有唯一的零点，只有一个极值点，且，由题知，又，

，

，

设，

，当，， 单调递减，

，

成立，

综上：函数只有一个极值点取值范围，，且．