Question

【题目】已知无穷数列，满足.

（1）若，求数列前10项和；

（2）若，且数列前2017项中有100项是0，求的可能值；

（3）求证：在数列中，存在，使得.

Answer 1

【答案】（1）9（2）1144或1145（3）证明见解析

【解析】

（1）由条件分别计算前10项，即可得到所求和（2）讨论x=1，2，3，…，计算得到数列进入循环，求得数列中0的个数，即可得到所求值（3）运用反证法证明，结合条件及无穷数列的概念，即可得证．

（1）因为数列，满足，，

则，

数列前10项和.

（2）当x=1时，数列各项为，

所以在前2017项中恰好含有672项为0；

当x=2时，数列各项为，

所以在前2017项中恰好含有671项为0；

当x=3时，数列各项为，

所以在前2017项中恰好含有671项为0；

当x=4时，数列各项为，

所以在前2017项中恰好含有670项；

当x=5时，数列各项为，

所以在前2017项中恰好含有670项为0；

由上面可以得到当x=1144或x=1145时，在前2017项中恰好含有100项为0.

（3）证明：假设数列中不存在（k∈N*），使得,

则＜0或≥1（k=1，2，3，…）．

由无穷数列，满足,

可得≥1，由于无穷数列，对于给定的，总可以相减后得到0，
故假设不成立．

所以在数列中，存在k∈N*，使得0≤＜1．