Question

在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（a＞b），在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，
（1）将四边形EFGH的面积S表示成x的函数，并写出函数的定义域；
（2）当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

分析：（1）分别求出矩形四个角落的三角形的面积，再利用矩形的面积减去四个角落的三角形的面积，可得四边形EFGH的面积S；
（2）先配方，确定函数的对称轴，再与函数的定义域结合，分类求出四边形EFGH的面积最大值．

解答：解：（1）由题意，S△AHE=S△CGF=

1

2

x2，S△DGH=S△BEF=

1

2

(a-x)(b-x)
∴SEFGH=ab-2[

1

2

x2+

1

2

(a-x)(b-x)]=-2x²+（a+b）x（0＜x≤b）…（5分）
（2）S_EFGH=-2x2+(a+b)x=-2(x-

a+b

4

)2+

(a+b)2

8

（0＜x≤b）
若

a+b

4

≤b，即b＜a≤3b时，当x=

a+b

4

时，Smax=

(a+b)2

8

…（9分）
若

a+b

4

＞b，即a＞3b时，S（x）在（0，b]上为增函数，当x=b时，Smax=ab-b2…（12分）

点评：本题重点考查四边形面积的计算，考查利用配方法求二次函数的最值，应注意函数的对称轴与区间结合，确定分类的标准．