Question

如图，在矩形ABCD中，已知AB=3AD，E，F为AB的两个三等分点，AC，DF交于点G；
（I）建立适当的平面直角坐标系，证明：EG⊥DF；
（II）设点E关于直线AC的对称点为E'，问点E'是否在直线DF上，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）建立适当的平面直角坐标系，求出直线EG和DF的方程，利用斜率之间的关系证明：EG⊥DF；
（II）求出点E关于直线AC的对称点为E'的坐标，判断E'的坐标是否满足DF的方程即可证明．

解答：解：（I）以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图，设AD的长度为1，
则A（0，0），D（0，1），E（1，0），F（2，0），C（3，1），
∴直线AC的方程为y=

1

3

x，①
直线DF的方程为y=-

1

2

x+1，②
由①②解得交点坐标G（

6

5

，

2

5

），
∴EG的斜率k_EG=2，DF的斜率kDF=-

1

2

，
∴-

1

2

×2=-1，
即EG⊥DF；
（II）设点E'的坐标为（x₁，y₁），
则EE'的中点M（

x1+1

2

，

y1

2

），
由题意得

y1 2 = 1 3 ? x1+1 2 y1 x1-1 ? 1 3 =-1

，
即

x1= 4 5 y1= 3 5

，
∴E'（

4

5

，

3

5

），
∵

3

5

=(-

1

2

)•

4

5

+1，
∴E'在直线DF上．

点评：本题主要考查直线方程的求法，建立平面之间坐标系是解决本题的关键，考查学生的运算能力．