Question

如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：
（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；
（2）证明：E G⊥D F．

Answer 1

分析：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出动点M的轨迹方程，即可求出围成区域的面积；
（2）求出直线AC，DF的方程，可得G的坐标，计算k_EG•k_DF=-1，即可得到结论．

解答：（1）解：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1），E（1，0），F（2，0）．…（1分）
设M（x，y），由题意知|MD|=2|MC|…（2分）
∴

x2+(y-1)2

=2

(x-3)2+(y-1)2

…（3分）
两边平方化简得：即（x-4）²+（y-1）²=4…（5分）
即动点M的轨迹为圆心（4，1），半径为2的圆，
∴动点M的轨迹围成区域的面积为4π…（6分）
（2）证明：由A（0，0）．C（3，1）知直线AC的方程为：x-3y=0，…（7分）
由D（0，1）．F（2，0）知直线DF的方程为：x+2y-2=0，…（8分）
由

x-3y=0 x+2y-2=0

得

x= 6 5 y= 2 5

，故点G点的坐标为(

6

5

，

2

5

)．…（10分）
又点E的坐标为（1，0），故k_EG=2，k_DF=-

1

2

   …（12分）
所以k_EG•k_DF=-1，即证得：EG⊥DF    …（13分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线方程的求解，考查学生的计算能力，属于中档题．