Question

已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5,试求a的最值.

Answer 1

思路分析：本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解.

解：由柯西不等式得，有

(2b²+3c²+6d²)()≥(b+c+d)²,

即2b²+3c²+6d²≥(b+c+d)².

由条件可得，5-a²≥(3-a)².

解得，1≤a≤2,当且仅当时等号成立.

代入b=1,c=,d=时，a_max=2;

b=1,c=,d=时,a_min=1.

巧妙变式

    为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.