Question

（2010•龙岩二模）过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于点(-1，

2

2

)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点A（-2，0）的直线l与椭圆C交于两点M、N，使得|FP|=

1

2

|MN|（其中P为弦MN的中点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，得F（-1，0），由此解得a²=2，b²=1，从而能够求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，由△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，知-

2

2

＜k＜

2

2

，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，由P为MN的中点，且|FP|=

1

2

|MN|，知

FM

•

FN

=0，（1+k²）x₁x₂+（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²=0，由此能导出满足条件的直线存在，并能求出其方程．

解答：解：（Ⅰ）依题意，得F（-1，0），
∴

a2-b2=1 1 a2 + 1 2b2 =1

，
解得a²=2，b²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设满足条件的直线l存在，方程为y=k（x+2）（k必存在），
代入椭圆方程，得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-2=0，
∵△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
∴-

2

2

＜k＜

2

2

，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=-

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，
∵P为MN的中点，且|FP|=

1

2

|MN|，
∴FM⊥FN，
∴

FM

•

FN

=0，
∴（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）
=（1+k²）x₁x₂+（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²=0，
∴k2=

1

4

，k=±

1

2

，
满足-

2

2

＜k＜

2

2

，
∴满足条件的直线存在，其方程为y=±

1

2

(x+2)．
即满足条件的直线方程为x+2y+2=0或x-2y+2=0．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识椭圆的体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．