Question

（2010•龙岩二模）已知a为实数，x=1是函数f(x)=

1

2

x2-6x+alnx的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递减，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设函数g(x)=x+

1

x

，对于任意x≠0和x₁，x₂∈[1，5]，有不等式|λg（x）|-5ln5≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用1处的导数值为0就可求的a的值；
（Ⅱ）利用导数小于0求出函数的递减区间，然后让区间（2m-1，m+1）是求出减区间子区间就可求出参数m的取值范围，还要注意：2m-1＜m+1；
（Ⅲ）先利用导数求出函数的极大值和极小值，极大值和极小值之差就是|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，然后让|λg（x）|-5ln5大于等于这个最大值，再用基本不等式求出|λg（x）|
的最小值，便可求出实数λ的取值范围．

解答：解：f′(x)=x-6+

a

x

（I）f′（1）=0⇒1-6+a=0⇒a=5
（Ⅱ）首先x＞0，由（I）得f′(x)=x-6+

5

x

=

x2-6x+5

x

=

(x-1)(x-5)

x

令f′（x）＜0，得：1＜x＜5即f（x）的单调递减区间是（1，5）
∵f（x）在区间（2m-1，m-1）上单调递减
∴（2m-1，m-1）⊆（1，5）⇒

2m-1＜m-1 2m-1≥1 m-1≤5

⇒1≤m＜2
（Ⅲ）由（I），f(x)=

1

2

x2-6x+5lnx，列表如下：

则f(x)极大值=f(1)=-

11

12

，f(x)极小值=f(5)=-

35

2

+5ln5
∴|f(x1)-f(x2)|≤-

11

2

-(-

35

2

+5ln5)=12-5ln5
∴|λg（x）|-5ln5≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立?∴|λg（x）|≥12恒成立
∵|g(x)|=|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|≥2当且仅当x=±1取等号
|λg（x）|_min=|2λ|≥12⇒|λ|≥6⇒λ≤-6或λ≥6

点评：本题主要考查了利用导数求单调区间及极值的方法，还涉及到恒成立问题转化为求最值问题的一般数学思想，在第2问很容易忽略区间的左端点要小于右端点这一条件，所以本题也属于易错题．