Question

20．已知函数f（x）=lnx+a（x²-3x）（a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值和极小值；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质求出函数的单调区间即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx+x²-3x（x＞0），
$f'（x）=\frac{1}{x}+2x-3=\frac{（x-1）（2x-1）}{x}$，…（1分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	$（0，\frac{1}{2}）$	$\frac{1}{2}$	$（\frac{1}{2}，1）$	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴当$x=\frac{1}{2}$时，f（x）取极大值$-{ln2}-\frac{5}{4}$，当x=1时，f（x）取极小值-2．…（5分）
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax-3a=\frac{{2a{x^2}-3ax+1}}{x}（x＞0）$，
①当a=0时，$f'（x）=\frac{1}{x}＞0$，∴f（x）在（0，+∞）递增；  …（6分）
②当a≠0时，设方程2ax²-3ax+1=0（*），
（ⅰ）当△≤0，即$0＜a≤\frac{8}{9}$时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）递增；    …（7分）
（ⅱ）当△＞0，即a＜0或$a＞\frac{8}{9}$时，
方程（*）有两根：${x_1}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}，{x_2}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}$，
若a＜0，则x₂＜0＜x₁，
当x∈（0，x₁）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（x₁，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减，…（9分）
若$a＞\frac{8}{9}$，则0＜x₁＜x₂，
当x∈（0，x₁），（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，f（x）递减，…（11分）
综上，当$0≤a≤\frac{8}{9}$时，f（x）增区间（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）增区间（0，x₁），减区间（x₁，+∞）；
当$a＞\frac{8}{9}$时，f（x）增区间（0，x₁），（x₂，+∞），减区间（x₁，x₂）．
（其中${x_1}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}，{x_2}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}$）．  …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质、分类讨论思想，是一道中档题．