Question

设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=    ．

Answer 1

【答案】分析：利用f（m）=g（m），推出•sin（m-θ）=b（1-a），利用三角函数的有界性，推出a，b的关系，结合a，b均为大于1的自然数，讨论a，b的范围，求出a，b的值即可．
解答：解：由f（m）=g（m），
即a（b+sinm）=b+cosm
asinm-cosm=b-ab
•sin（m-θ）=b（1-a）[注：sinθ=]
∵-1≤sin（m-θ）≤1
∴-≤b（1-a）≤
∵a，b均为大于1的自然数
∴1-a＜0  b（1-a）＜0，
∴b（1-a）≥-，
b（a-1）≤
b≤=．
∵a≥4时 ，b＜2
∴a＜4
当a=2时 b≤，b=2
当a=3时  b≤ 无解
综上：a=2，b=2
a+b=4．
故答案为：4．
点评：本题考查三角函数的有界性，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想．