Question

8．f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$．数列{a_n}满足：a_n=f（0）+f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$）+f（1），则a_n=$\frac{n+1}{4}$．

Answer 1

分析 对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$．利用“倒序相加”法即可得出．

解答 解：∵对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{2}$．
∴2a_n=[f（0）+f（1）]+[f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{n-1}{n}$）]+…+[f（$\frac{n-1}{n}$）+$f（\frac{1}{n}）$]+[f（1）+f（0）]=$\frac{1}{2}$×（n+1），
则a_n=$\frac{n+1}{4}$．
故答案为：$\frac{n+1}{4}$．

点评 本题考查了数列“倒序相加”法求和、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．