Question

设m，n∈（1，+∞），若直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆（x-1）²+（y-1）²=1相切，则m+n的最小值为

2+2

2

．

Answer 1

分析：根据题中的直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式建立关于m、n的等式，化简整理得到m+n+1=mn．利用基本不等式mn≤（

m+n

2

）²，化简得到（m+n）²-4（m+n）-4≥0，解之得m+n≥2+2

2

，由此即可得到当m=n=1+

2

时，m+n的最小值为2+2

2

．

解答：解：∵圆的方程是（x-1）²+（y-1）²=1，
∴圆心为C（1，1），半径r=1．
∵直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆相切，
∴圆心到直线的距离等于半径r，
即d=

|m+1+n+1-2|

(m+1)2+(n+1)2

=1，化简得m+n+1=mn，
∵m、n∈（1，+∞），可得mn≤（

m+n

2

）²，
∴m+n+1≤

1

4

（m+n）²，整理得（m+n）²-4（m+n）-4≥0，
解之得m+n≤2-2

2

或m+n≥2+2

2

，
∵m、n∈（1，+∞），∴m+n≤2-2

2

不成立，故m+n≥2+2

2

，
当且仅当m=n=1+

2

时，m+n的最小值为为2+2

2

．
故答案为：2+2

2

点评：本题着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、利用基本不等式求最值和不等式的解法等知识，属于中档题．