Question

（本小题满分14分）
如图，四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90 ，且BC=2AD=2，AB=4，SA=3.

（1）求证：平面SBC⊥平面SAB；
（2）若E、F分别为线段BC、SB上的一点（端点除外），满足.（）
①求证：对于任意的，恒有SC∥平面AEF；
②是否存在，使得△AEF为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）∵平面∴∴∴平面∴平面平面（2）①∴SC∥平面AEF②

试题分析：（Ⅰ）∵平面，
∴     ……………1分
∵底面为直角梯形，，，
∴    ……………2分
∵
∴平面     …………3分
∵平面
∴平面平面 …………4分
（Ⅱ）（ⅰ）∵，∴………5分
∵平面，  平面，………6分
∴对于任意的，恒有SC∥平面AEF………7分
（ⅱ）存在，使得为直角三角形. ………8分
若，即
由（Ⅰ）知，平面，∵平面，∴ ，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
，，
.    ………10分
②若，即由①知，，
平面，∴平面，
又因平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直相矛盾，
∴.  ………12分
③若，即由（ⅰ）知，，∴
又∵平面，平面，
∴ ，∴平面
∴这与相矛盾，故
综上，当且仅当，使得为直角三角形. ……… 14分
点评：第二小题②采用空间向量求解比较简单