Question

已知点H(－3，0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．

(Ⅰ)当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；

(Ⅱ)过定点D(m，0)(m＞0)作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：∠AED＝∠BED；

(Ⅲ)在(Ⅱ)中，是否存在垂直于x轴的直线被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)设 　　 　　且　　　　　2分 　　　　　　　　　　　　　3分 　　　　　　　　　　　　　4分 　　∴动点M的轨迹C是以O(0，0)为顶点，以(1，0)为焦点的抛物线(除去原点). 　　　　　　　　　　　　　　　　　5分 　　(Ⅱ) 　　解法一：(1)当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性，有；　　6分 　　(2)当直线与轴不垂直时，依题意，可设直线的方程为，，则A，B两点的坐标满足方程组 　　 　　消去并整理，得 　　 　　　　　7分 　　设直线AE和BE的斜率分别为，则 　　＝ 　　　　　9分 　　 　　 　　， 　　. 　　综合(1)、(2)可知.　　　　　　　　　　　10分 　　解法二：依题意，设直线的方程为，，则A，B两点的坐标满足方程组 　　 　　消去并整理，得 　　 　　　　　7分 　　设直线AE和BE的斜率分别为，则 　　＝ 　　　　　9分 　　 　　 　　， 　　.　　　　　　10分 　　(Ⅲ)假设存在满足条件的直线，其方程为，AD的中点为，与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则，点的坐标为. 　　 　　 　　 　　　　　　　　　　　　　12分 　　 　　令，得 　　此时， 　　∴当，即时，(定值) 　　∴当时，满足条件的直线存在，其方程为；当时，满足条件的直线不存在.　　　　　　　　　　　14分