Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=

2

，D，E分别为BB₁、AC₁的中点．
（Ⅰ）DE⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）设AA₁=

2

AB，P是BB₁上一动点，试求AP+PC₁的最小值．

Answer 1

分析：（I）取AC的中点F，可得DE∥FB．由题意得BF⊥AC．由于ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，所以BF⊥CC₁，进而可得BF⊥面AC C₁A₁，从而可证明DE⊥面AC C₁A₁．
（II）将平面AB B₁A₁延B B₁展开，使之与面BC C₁B₁共面，连接AC₁则：AP+PC₁的最小值为AC₁．

解答：证明：（I）取AC的中点F，易证DEFB为矩形，所以DE∥FB．
因为AB=BC且F为中点，
所以BF⊥AC．
因为ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，
所以CC₁⊥面ABC，所以BF⊥CC₁
又因为AC∩CC₁=C，
所以BF⊥面AC C₁A₁，
所以DE⊥面AC C₁A₁．
（II）将平面AB B₁A₁延B B₁展开，使之与面BC C₁B₁共面，
如图所示，则：AP+PC₁的最小值为AC₁的长2

3

．

点评：证明线面垂直的方法是证明已知直线垂直于平面内的两条相交直线即可，而线线垂直与线面垂直的证明是相辅相成的不能分割，对于求几何体上两点距离的最小值的问题解决方法一般是展开几何体．