Question

【题目】已知函数，，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数.

Answer 1

【答案】(1) 当时,单调递增,当时,单调递减;(2)存在3个零点.

【解析】

(1)先确定的定义域,通过求导数解出其单调区间;

(2)利用函数有极值,判断的取值范围,进而确定极值点的大小关系,得到的单调区间,最后通过极值的正负判断出零点的个数.

(1)由题意可知函数的定义域为

当时:,所以单调递增;

当时:,所以单调递减;

所以当时,单调递增,当时,单调递减.

(2)由题意得:有两个不同的零点,即有两个不同的根设为,由(1)得当时单调递增;当时单调递减;有当时,所以时,有使且函数在单调递减,在单调递增,

现只需比较的正负进而确定零点个数.

有且且,即,.

令则所以函数在上单调增,所以时

时又时时

所以函数有三个零点.