Question

【题目】已知函数的定义域为，若满足，则称函数为“型函数”.

（1）判断函数和是否为“型函数”，并说明理由；

（2）设函数，记为函数的导函数.

①若函数的最小值为1，求的值；

②若函数为“型函数”，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)不是,是,理由见解析;(2)①;②.

【解析】

(1)分别求出两个函数的定义域,判断即可.

(2) ①求出,再求,通过导数探究当取何值时,取最小值,令最小值为1,即可求出的值.②由题意恒成立,分别讨论当和时,通过探究 的单调性判断是否使得不等式恒成立,从而求出的取值范围.

解:(1)对于函数,定义域为,显然不成立,所以不是“型函数”;

对于函数,定义域为.

当时,,所以,即;

当时,,所以,即.

所以,都有.所以函数是“型函数”.

(2)①因为

所以.当时,,所以在上为减函数;

当时,,所以在上为增函数.

所以.所以,故.

②因为函数为“型函数”,

所以(*).

(ⅰ)当,即时,由①得,即.

所以在上为增函数,又,当时,

所以;当时,,所以.

所以,适合(*)式.

(ⅱ)当,即时,,.

所以由零点存在性定理得,使,又在上为增函数

所以当时,,所以在上为减函数

又,所以当时,,所以,不适合(*)式.

综上得,实数的取值范围为.