Question

（2012•南京二模）已知关于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2-3=0有唯一解，则实数a的值为

1

．

Answer 1

分析：考察函数 f（x）=x2+2alog2(x2+2)+a2-3，可得它在 R 上为偶函数，因此图象关于 y 轴对称，由题意可得 f（0）=0，解得 a=1 或 a=-3．经检验，当 a=-3 时，
f（x） ）=0 至少有三个根，不满足题意，故把 a=-3舍去，而a=1满足条件，由此得出结论．

解答：解：考察函数 f（x）=x2+2alog2(x2+2)+a2-3，可得它在 R 上为偶函数，因此图象关于 y 轴对称．
因为 f（x）=0 有唯一解，因此这个解一定是 x=0，即  f（0）=0，即 （a-1）（a+3）=0．
解得 a=1 或 a=-3．
当 a=1 时，f（x）=x2+2log2(x2+2)-2≥0+2log₂2-2=0，当且仅当x=0时取等号，因此关于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2-3=0有唯一解 x=0．
当 a=-3 时，f（x）=x2-6log2(x2+2)+6，
因为 f（

30

）=30-6×5+6=6＞0，f（

14

）=14-6×4+6=-4＜0，
因此 f（x）=0 至少有三个根，不满足题意，故把 a=-3舍去．
所以，若方程有唯一解，则 a=1．
故答案为 1．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性的性质应用，注意排除a=-3，这是解题的难点．