Question

（2012•南京二模）在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则

PC

•

PB

+

BC

2的最小值是

2

3

．

Answer 1

分析：根据△ABC的面积为2，可得△PBC的面积=1，从而可得PB×PC=

2

sin∠BPC

，故

PC

•

PB

=PB×PCcos∠BPC=

2cos∠BPC

sin∠BPC

，由余弦定理，有：BC²=BP²+CP²-2BP×CPcos∠BPC，进而可得BC²≥2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC．
从而

PC

•

PB

+

BC

2≥

4-2cos∠BPC

sin∠BPC

，利用导数，可得

4-2cos∠BPC

sin∠BPC

最大值为2

3

，从而可得

PC

•

PB

+

BC

2的最小值．

解答：解：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半，
∴△ABC的面积=2△PBC的面积，而△ABC的面积=2，∴△PBC的面积=1，
又△PBC的面积=

1

2

PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=

2

sin∠BPC

．
∴

PC

•

PB

=PB×PCcos∠BPC=

2cos∠BPC

sin∠BPC

．
由余弦定理，有：BC²=BP²+CP²-2BP×CPcos∠BPC．
显然，BP、CP都是正数，∴BP²+CP²≥2BP×CP，∴BC²≥2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC．
∴

PC

•

PB

+

BC

2≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC=

4-2cos∠BPC

sin∠BPC

令y=

4-2cos∠BPC

sin∠BPC

，则y′=

2-4cos∠BPC

sin2∠BPC

令y′=0，则cos∠BPC=

1

2

，此时函数在（0，

1

2

）上单调增，在（

1

2

，1）上单调减
∴cos∠BPC=

1

2

时，

4-2cos∠BPC

sin∠BPC

取得最大值为2

3

∴

PC

•

PB

+

BC

2的最小值是2

3

故答案为：2

3

点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，综合性强．