题目内容

已知双曲线 $数学公式$ 的左焦点为F，△ABC的三个顶点均在其左支上，若 $数学公式$ ，则| $数学公式$ |+| $数学公式$ |+| $数学公式$ |=________．

2 $\text{[math]}$
分析：求出焦点坐标和左准线方程，根据F 为△ABC的重心，可得x₁+x₂+x₃=-6 $\text{[math]}$ ，由双曲线的第二定义可得
| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |=e[（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）]，由此求得结果．
解答：由题意可得 F（-2 $\text{[math]}$ ，0），左准线为 x=- $\text{[math]}$ ，e= $\text{[math]}$ ，设△ABC的三个顶点的坐标分别为
（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃ ）．∵ $\text{[math]}$ ，∴F 为△ABC的重心，
∴ $\text{[math]}$ ，∴x₁+x₂+x₃=-6 $\text{[math]}$ ，由双曲线的第二定义可得
| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |=e[（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）]= $\text{[math]}$ [- $\text{[math]}$ -（x₁+x₂+x₃）]
=2 $\text{[math]}$ ，
故答案为：2 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |=
e[（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）]，是解题的关键．