题目内容

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是AC与BD的交点，M是CC1的中点．
（1）求证：A1P⊥平面MBD；
（2）求直线B1M与平面MBD所成角的正弦值；
（3）求平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值．
（1）证明：如图，以D为坐标原点，向量
DA
，
DC
，
DD1
为单位正交基向量，
建立空间直角坐标系D-xyz．则P（
1
2
，
1
2
，0），M（0，1，
1
2
）．
A1P
=（-
1
2
，
1
2
，-1），
DB
=（1，1，0），
DM
=（0，1，
1
2
），所以
A1p•
DB
=0，
A1p•
DM
=0．
所以
A1p
⊥
DB
，
A1p
⊥
DM

又因为BD∩DM=D，所以A1P⊥平面MBD；
（2）由（1）可知，可取
n
=（1，-1，2）为平面MBD的一个法向量．
又
.
B1M
=（-1，0，-
1
2
），
所以cos＜
n
，
AM
＞=-
2
5
5

所以直线AM与平面MBD所成角的正弦值为
2
5
5
．
（3）
AB
=（0，1，0），
BM
=（-1，0，
1
2
）．
设
n
1=（x，y，z）为平面ABM的一个法向量，则
n1•
AB
=0
n1•
BM
=0

解得
y=0
-x+
1
2
z=0
即
y=0
z=2x
，故可取
n
1=（1，0，2）．
由（1）可知，可取
n
=（1，-1，2）为平面MBD的一个法向量．
所以cos＜
n
，
n
1＞=
1+4
5
×
6
=
30
6
．
所以平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值为
30
6
．
练习册系列答案
相关题目
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求证：BE⊥CD；
（3）求BD与平面PDC所成角的正弦值．
如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是______．（把你认为正确的结论都填上）
①BD∥平面CB1D1；
②AC1⊥平面CB1D1；
③AC1与底面ABCD所成角的正切值是
2
；
④二面角C-B1D1-C1的正切值是
2
；
⑤过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有2条．
一个四棱锥的三视图如图所示．

（1）求这个四棱锥的全面积及体积；
（2）求证：PA⊥BD；
（3）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°？若存在，求
|DQ|
|DP|
的值；若不存在，说明理由．
正四棱锥相邻二侧面形成的二面角为θ，则θ的取值范围是（　　）
A．（0，
π
2
）		B．（
π
3
，
π
2
）		C．（
π
4
，
π
3
）		D．（
π
2
，π）
如图，已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA=2，PD=AB，且平面MND⊥平面PCD．
（1）求证：MN⊥AB；
（2）求二面角P-CD-A的大小；
（3）求三棱锥D-AMN的体积．
正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成角为60°，过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角，则此截面的面积为（　　）
A．
3
4
a2		B．
3
3
a2		C．
1
3
a2		D．
3
8
a2
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点．
求：
（1）D1E与平面BC1D所成角的正弦值；
（2）二面角D-BC1-C的余弦值．
已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
π
2
，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．
（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值；
（3）当f（x）取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．

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