Question

设f（x）=（ax+b）lnx-4ax，对于任意的a∈（1，2），f（x）均单调递增，则b的取值范围为

[2e²，+∞）

．

Answer 1

分析：已知f（x）=（ax+b）lnx-4ax，对于任意的a∈（1，2），f（x）均单调递增，说明f′（x）≥0恒成立，可以推出a与b的关系，再利用常数分离法进行求解；

解答：解：∵f（x）=（ax+b）lnx-4ax，对于任意的a∈（1，2），f（x）均单调递增，
∴f′（x）=alnx+（ax+b）×

1

x

-4a≥0在x＞0上为单调增函数，
∴（ax+b）×

1

x

≥4a-alnx，
∴b≥3ax-axlnx（x＞0），
令g（x）=3ax-axlnx=a（3x-xlnx）（x＞0），a∈（1，2），
求3x-xlnx的最大值，令h（x）=3-（lnx+1）=0，可得x=e²，
存在唯一极值点也是最大值点，h（x）_max=h（e²）=3e²-e²×2=e²，
∴g（x）_max=2×e²=2e²，∴b≥2e²，
故答案为：[2e²，+∞）；

点评：此题主要考查函数的单调性与导数的关系，解题过程中用到了常数分离法，此题是一道基础题；