Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足f（x-1）=f（x）+x-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点，并写出f（x）＜0时，x取值的集合；
（Ⅲ）设F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），当x∈[-1，1]时，F（x）有最大值14，试求a的值．

Answer 1

分析：（1）将f（x-1）=f（x）+x-1化简，再利用函数相等的意义求出a，b，得出f（x）的解析式；
（2）解f（x）=0，求出零点，依照二次不等式解法求解f（x）＜0
（3）将a^x看作整体u，换元得出关于u的二次函数，利用二次函数图象与性质求解．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²+bx满足f（x-1）=f（x）+x-1，∴a（x-1）²+b（x-1）=ax²+bx+x-1，即ax²-（2a-b）x+a-b=ax²+（b+1）x-1，∴

-(2a-b)=b+1 a-b=-1

，解得a=-

1

2

，b=

1

2

．∴f(x)=-

1

2

x2+

1

2

x．…（5分）
（ II）由f（x）=0得函数的零点为0，1．
又函数f（x）的图象是开口向下的抛物线，∴f（x）＜0时x＞1或x＜0．
∴x取值的集合为{x|x＞1或x＜0}．…（9分）
（ III）由F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），得F（x）=a^2x+2a^x-1．
①当a＞1时，令u=a^x，∵x∈[-1，1]，∴u∈[

1

a

，a]，令g（u）=u²+2u-1=（u+1）²-2，u∈[

1

a

，a]．∵对称轴u=-1，∴g（u）在[

1

a

，a]上是增函数．∴gmax(u)=g(a)=a2+2a-1=14，∴a²+2a-15=0，∴a=3，a=-5（舍）．
②当0＜a＜1时，令u=a^x，∵x∈[-1，1]∴u∈[a，

1

a

]∴g（u）=u²+2u-1=（u+1）²-2，u∈[a，

1

a

]，∵对称轴u=-1，∴g（u）在[a，

1

a

]上是增函数．∴gmax(u)=g(

1

a

)=(

1

a

)2+

2

a

-1=14，∴

1

a

=3，

1

a

=-5（舍），∴a=

1

3

．
综上a=

1

3

或a=3．…（14分）

点评：本题考查函数的解析式表示法，二次函数图象与性质，数形结合、换元的思想方法．